Das Sphärische oder Nautische Dreieck dient vor allem zur Umrechnung zwischen zwei Koordinatensystemen. Ich habe es hier in die Rubrik 'Theoretisches' gestellt, weil sich vermutlich nicht jeder mit diesen mathematischen Überlegungen herumschlagen will oder sich mit den Grundbegriffen zufrieden gibt.

Das nautische Dreieck ist wie gesagt ein sphärisches Dreieck, also ein Dreieck auf einer Kugel. Hier gilt die Trigonometrie des ebenen Dreiecks nicht mehr, man muß sich der shärischen Trigonometrie bedienen. Einer der bekanntesten Unterschiede zum ebenen Dreieck ist die Tatsache, dass die Summe der Innenwinkel bei einem sphärischen Dreieck in der Regel größer als 180° ist, und auch die Winkelsätze sehen anders aus. Wer mit den Bezeichnungen hier noch nicht vertraut ist sieht bitte unter Koordinatensysteme nach.

Im unserem speziellen Fall wird das sphärische Dreieck aus den Eckpunkten Pol/Zenit/Stern gebildet, wie in nebenstehender Skizze zu sehen ist. Die Seitenlängen werden hier natürlich im Winkelmaß angegeben. Die Winkel sind zur besseren Übersicht in- und außerhalb des Dreiecks in der selben Farbe gekennzeichnet. Selbst jemand der noch nie mit sphärischen Dreiecken zu tun hatte, kann folgendes erkennen:

Bei dem Winkel am Pol (orange) handelt es sich offensichtlich um den Stundenwinkel t des Sterns, Bezugssytem ist das Äquatorsytem.

Der Winkel im Zenit (grün) zwischen dem Meridian und dem Höhenkreis des Sterns ist der Azimut Az, natürlich im Horizontsystem gemessen.

Mit diesen beiden Winkeln sowie den 'Seitenlängen' des Dreiecks, welche hier wie gesagt ebenfalls Winkel sind, kann man dann die Winkelsätzte aus der Mathematik zu Hilfe nehmen, aber erst nach der nächsten Skizze :-):

Ich habe das Dreieck hier nochmal aus der oberen Zeichnung heraus genommen. Die 'Seitenlängen' sind darin folgende:

Die rote Seite Zenit zu Stern ist die Zenitdistanz z (..nona), was auch der Komplementärwinkel zur Höhe h des Sterns ist: z=(90°–h).

Die Distanz vom Himmelsäquator bis zum Stern ist ja die Deklination des Sterns (siehe oben), der Rest ist also unser benötigter Winkel von Pol zu Stern = 90°-. (violett)

Schließlich ist da noch der Winkel von Pol zu Zenit (blau), welcher den Wert 90°- haben muß, da sich ja der Himmelspol in der Höhe über dem Horizont befindet (siehe Polhöhe) und der Rest zum Zenit der Komplementärwinkel sein muß.

Der Winkel q wird auch parallaktischer Winkel genannt, er wird hier nicht weiter benötigt. Jetzt haben wir alle Größen zusammen und rechnen mit den Winkelsätzen aus der sphärischen Trigonometrie weiter, als da sind:

Der Sinussatz:
Der Seiten-Kosinussatz:
Der Sinus-Kosinussatz:
Der Winkelkosinussatz:
Polarer Sinus-Kosinussatz:

Die einzige Festlegung ist jetzt, dass die 'Seiten' mit der lat. Bezeichnung a, b, c immer jeweils den Winkeln , , gegenüberliegen und umgekehrt. Welche Winkel man , , und welche Seiten man a, b, c nennt, kann man sich einteilen. Ich versuche einmal folgendes:

1. Annahme:

Diese Annahmen in den Sinus-Kosinussatz eingesetzt ergeben:

Unter Berücksichtigung der Winkelverhältnisse am Einheitskreis: Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus des Komplementärwinkels (90°-) bzw. im Fall des Supplementärwinkels (180°-) erhält man für den Sinus dasselbe und für den Kosinus den negativen Wert.

Setzt man jetzt diese Zusammenhänge ein, ergibt sich

Mit dem Seiten-Kosinussatz unter der selben Annahme erhält man:

und nach Auflösung der Winkelzusammenhänge:

und um eine dritte brauchbare Gleichung zu erhalten stellen wir zu einer 2. Annahme um:
(a, b bzw. , vertauscht)

und erhalten mit dem Sinussatz

und nach Umformung schließlich

Das selbe Spielchen treibt man jetzt noch mit den selben Formeln wie bereits verwendet, nur mit dem 2. Ansatz : Für die Gleichung mit dem Sinussatz erhält man das selbe Ergebnis wie gerade eben.

Mit dem Sinus-Kosinussatz eregibt sich unter der 2. Annahme die Beziehung

und mit dem Seiten-Kosinussatz eregibt sich unter der 2. Annahme die Beziehung

Wir haben im Endeffekt 5 Gleichungen erhalten, die uns bei der Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen helfen: (hier noch ein wenig umgruppiert, in Anlehnung an [1])

Gegeben: Az, z = (90°– h),	Gesucht: t,

Gegeben: t, ,	Gesucht: Az, z

Wie leicht zu sehen ist die mittlere Gleichung ein und die selbe, nur umgedreht. Da die Zenitdistanz z von 0° bis 180° und die Deklination von -90° bis +90° läuft, reicht bei der Umrechnung jeweils eine Gleichung aus. Dagegen variieren aber der Azimut Az und der Stundenwinkel t zwischen 0° und 360°, und es sind daher wegen der Doppelwelle der Winkelfunktionen zur eindeutigen Festlegung des Quadranten jeweils zwei Gleichungen erforderlich!