ier
ein kurzes Beispiel zum Thema "Kreisbahn um einen
Zentralkörper". Ziel ist natürlich, die entsprechenden
Daten zu ermitteln, wenn man die Erde als Zentralkörper hernimmt,
in deren Schwerefeld sich ein
Satellit auf einer Kreisbahn bewegen soll. Wichtig ist
hier folgende Vereinfachung: Die Masse des Satelliten sei eine "Punktmasse"
und im Vergleich zum Zentralkörper
vernachlässigbar
klein. Natürlich werden
weitere Idealisierungen vorausgesetzt, z.B. dass der Zentralkörper
"homogen" ist, usw.
Also, wir haben:
m0.....Masse des Zentralkörpers
R0.....Radius des Zentralkörpers
g0.....Beschleuigung an der Oberfläche des Zentralkörpers
S......Satellit, der den Zentralkörper auf einer Kreisbahn umrundet,
Masse m
r, r0.....Radius der Satellitenbahn vom Mittelpunkt gemessen
Fg.....Kraft, mit der der Satellit vom Zentralkörper angezogen
wird
s......Wegkoordinate
Am besten nimmt man hier die "natürlichen" Koordinaten, das ist jenes Koordinatensystem mit Ursprung im Satelliten. Wir setzen uns also in den Satelliten und werden samt Koordinatensystem mitbewegt. Der Satellit soll sich also auf einer Kreisbahn r=konstant=r0 um den Zentralkörper bewegen.
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen
(F=m·a, mit a=s.., v=s.) tangential und radial mal
an:
Kräfte
in Richtung der Bewegung (Koordinate s, tangential) gibt es keine
Kräfte in Richtung r (normal zur Bewegung, Zentripetalkraft zum Zentrum und Zentrifugalkraft vom Zentrum weg gerichtet ) ergibt
Aus 1) folgt, das wir in Bewegungsrichtung s keine Beschleunigung haben, wie auch, die Kreisbewegung ist ja gleichförmig, immer in der selben Geschwindigkeit. Daher folgt mit
eine konstante Kreisbahngeschwindigkeit.
In Gleichung 2) wurde die Komponente normal zur Kreisbahn mit der Gravitationskraft
Fg (zum
Mittelpunkt gerichtet) gleich gesetzt. Die Zentrifugalkraft wird ja bekanntlich
mit
ermittelt, mit m der Masse des Körpers, v der Kreisbahngeschwindigkeit und r dem Bahnradius, der ja hier ebenfalls konstant ist (Kreis). Die gravitative Kraft wäre auf der Oberfläche des Zentralkörpers =mg0 und nimmt laut Newton'schen Gesetz nach außen hin mit dem Quadrat der Entfernung ab, ist also in der Entfernung r gleich
Gleichsetzen der Fliehkraft mit der Gravitationskraft und ausrechnen ergibt
Diese Gleichung ergibt also einen Zusammenhang zwischen v und r. Man kann sich vorstellen, dass der Satellit quasi um den Zentralkörper "herumfällt", er wird ja zu jedem Zeitpunkt zur Mitte hin gezogen. Die Bewegung auf seiner Umlaufbahn (senkrecht zur Fallbewegung) erfolgt aber dabei "so schnell", das der freie Fall durch die Fliehkraft kompensiert wird. Salopp formuliert :)
Die kleinstmögliche Kreisbahn wäre bei r=R0 (man stelle sich "knapp über der Oberfläche" vor), die Geschwindigkeit beträgt dann
Und die Umlaufzeit T? Jetzt kein Problem mehr. Man muss bloß den Umfang der Kreisbahn durch die Bahngeschwindigkeit dividieren:
Schließlich können wir natürlich noch für die Erde die entsprechenden Daten einsetzen:
Die obige Geschwindigkeit vI dieses "Nullsatelliten" wird auch als "1. kosmische Geschwindigkeit" bezeichnet.
Die oben stehenden Überlegungen kann man auch benutzen, um die Umlaufbahn eines geostationären Satelliten zu berechnen. Geostationär bedeutet, dass sich der Satellit konstant mit der Erde mitdreht und sich immer über dem selben Punkt der Erdoberfläche befindet. Ein dort stehender Beobachter würde den Satelliten also immer im Zenit sehen.
Einige grundlegende Anmerkungen für Nicht-Physiker :)
Die "gepunkteten" Größen bedeuten immer Zeitableitungen. Eine Größe mit einem Punkt ist eine einmal nach der Zeit abgeleitete Größe, eine doppelt gepunktete wird 2-mal abgeleitet, usw.
Gemeinhin wird der Weg meist mit s, die Geschwindigkeit mit v und die Beschleunigung mit a bezeichnet. Geschwindigkeit ist aber Weg/Zeit, oder anders formuliert die erste Ableitung des Weges nach der Zeit:
Das d bedeutet dabei sowas in der Art wie "eine kleine Änderung". Man könnte es auch so lesen: "Die Änderung des Weges mit der Zeit". Die Beschleunigung ist wiederum die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit, also die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
Wie hängt der Weg und die Beschleunigung zusammen? Genau! Dieser muss dann zweimal abgeleitet nach der Zeit die Beschleunigung sein. Das schreibt man laut Konvention dann
Zusammengefasst:
Wenn sich eine Größe mit der Zeit nicht ändert, ist sie zeitlich konstant. Wenn sich z.B. die Geschwindigkeit mit der Zeit nicht ändert, d.h. dv/dt = 0 ist, ist sie eine Konstante. Konstante ergeben abgeleitet aber bekanntlich = 0, d.h. die Beschleunigung muss in diesem Fall also 0 sein.
Nach rückwärts
gerechnet könnte man auch sagen:
Wenn die Beschleunigung 0 ist, muss die
Geschwindigkeit konstant sein.
Wenn die Geschwindigkeit 0 ist, muss der Weg konstant sein.
