Die Kegelschnittslinien ergeben sich - wie der Name bereits nahelegt - durch verschiedene Schnittführungen an einem Kegel, genauer gesagt eigentlich einem Doppelkegelmantel. Unter 'Kegel' ist dabei also eine Fläche zu verstehen, also nicht ein ausgefüllter Körper (=Vollkegel).

Eine Skizze? Na gut:

Ich habe hier wie in jedem vernünftigen Mathebuch die möglichen Schnitte einer Ebene mit einem Doppelkegelmantel gezeichnet:
Ausgelassen habe ich jeweils die Geschichten: Wenn die Ebene durch die Kegelspitze geht, erhält man entweder nur einen Punkt oder zwei Geraden (Kegelerzeugende) als Schnittmenge.

1. Die Schnittebene ist parallel zur Grundebene (grün), man erhält einen Kreis als Schnittkurve (Spezialfall der Ellipse) 2. Die Schnittebene ist zur senkrechten Kegelachse etwas geneigt - aber weniger als die Neigung der Kegelerzeugenden e - man erhält eine Ellipse als Schnittkurve.	3. Die Schnittebene ist genau parallel zur Kegelerzeugenden e - man erhält eine Parabel als Schnittkurve.	3. Die Neigung der Schnittebene ist noch größer als parallel zur Kegelerzeugenden e - man erhält zwei Schnittkurven, je eine am oberen und eine am unteren Kegelmantel - die beiden Äste einer Hyperbel. Ist die Ebene genau senkrecht und geht nicht durch die Spitze, erhält man eine gleichseitige Hyperbel (senkrech + durch Spitze ergibt zwei Kegelerzeugende).

Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte in einem x,y-Koordinatensystem lautet so:

Dabei ist p der 'Parameter' der Kurven. Alle Kurven haben bei dieser Gleichung einen Scheitel S im Koordinatenursprung. In der Skizze ist auch der Bereich der numerischen Exzentrizität der Brennpunkte der jeweiligen Kurven angegeben. Ein Kreis ist nicht exzentrisch, daher ist = 0. zwischen 0 und 1 hat die Ellipse, genau 1 die Parabel, und bei > 1 hat man eine Hyperbel vorliegen, von der nur ein Ast hier gezeichnet ist. Die Scheitelgleichung für die einzelnen Kurven ergeben also mit eingesetzt:

Kreis (=0): , wobei p zum Radius r wird.

Parabel (=1):

Ellipse und Hyperbel bleiben wie oben angeführt.

Die Scheitelform bzw. überhaupt die Beschreibung der Kegelschnittslinien in dieser Form ist aber für astronomische Zwecke nur schlecht zu gebrauchen. Beliebter ist die Beschreibung der Kurven in der 'Polarform', also mit Hilfe eines Winkels und einem dazugehörenden Vektor vom Brennpunkt aus. Die Polargleichung der Kegelschnitte wird bei der Ellipse hergeleitet.

Hier noch in einer Tabelle mit Zusammenhängen für die Werte a, b, p, der numerischen Exzentrizität und der linearen Exzentrizität e:

	Kreis	Ellipse	Parabel	Hyperbel
, numerische Exzentrizität, = e/a	0	e<a, d.h. < 1	e=a, d.h. = 1	e>a, d.h. > 1
p = Parameter	a	a (1-2)	p	a (2-1)
a = große Halbachse	a	a	---	a
b = kleine Halbachse	a	a (1-2)1/2	---	a (2-1)1/2
kleinster Abstand (Perizentrumsabstand)	a	a (1-)	p/2	a ( -1)
größter Abstand (Apozentrumsabstand)	a	a (1+)