Eine Ellipse ist definiert als Menge aller Punkte P, die von zwei festen Brennpunkten F₁ und F₂ die konstante Abstandssumme 2a haben.

Der Radiusvektor r (auch 'Fahrstrahl' genannt) geht von F₁ aus und schließt mit der Horizontalen den Winkel ein. Aber ohne Skizze ist das langweilig:

Also: Man nennt a die Hauptachse und b die Nebenachse. Laut Definition ist die Summe der Längen r + r₂ = 2a. Das gelb hinterlegte Dreieck besteht aus den Seiten r, r₂ und (2e). Die Größe e heißt auch lineare Exzentrizität^[1] und gibt offensichtlich an, wie weit die Brennpunkte aus der Mitte sind.

Der Cosinus-Satz im ebenen Dreieck lautet:

Hier entspricht die Hypotenuse c = r₂, und die Seiten sind a = r und b = 2e, sowie der eingeschlossene Winkel von r und 2e, also hier der Winkel (180°-). Der cos(180°-) ist aber gleich dem negativen Wert des Kosinus von , das können wir zur Vereinfachung verwenden:

Mit r + r₂ = 2a folgt r₂ = (2a - r) und nach Einsetzen in den Cosinus-Satz

Wir lösen weiter auf und sehen, dass sich r² sowie die Faktoren 4 wegkürzen lassen, da sie auf beiden Seiten vorkommen:

Wenn man nochmal die Skizze betrachtet erkennt man das blaue rechtwinklige Dreieck mit den Seiten [a,b,e], und Pythagoras würde jetzt wohl a²=b²+e² dazu sagen, bzw. b²=a²-e² . Also setzen wir das ein und dividieren noch durch a,

Es ist nun üblich, für den linken Ausdruck gleich p und für (e/a) = zu schreiben. p bezeichnet man auch als den Parameter (manchmal auch: Halbparameter), und heißt numerische Exzentrizität, ist ein dimensionsloser Wert und liegt bei Ellipsen zwischen 0 und 1.
Also schreiben wir

Wir erhalten die Polargleichung, die beschreibt, wie der Abstand r vom Winkel abhängt. p und sind durch die Geometrie der Ellipse vorgegeben, da sie von a und b abhängen. Diese Gleichung gilt aber nicht nur für die Ellipse, sondern für alle Kegelschnitte, je nach dem, wie groß ist.

Die Kegelschnitte lassen sich so elegant von einem Brennpunkt F aus über den Winkel und den dazugehörigen Abstand r() beschreiben.
Der Parameter p = (b²/a) ist bei der Ellipse geometrisch gesehen die Senkrechte vom Brennpunkt bis zum Schnitt mit der Ellipse. In der Skizze oben ist der Ellipsenparameter grün eingezeichnet. Weil dort 90° ist und der cos(90°)=0 verschwindet, ist r an dieser Stelle also = p = (b²/a).

[1] Anmerkung zur linearen/numerischen Exzentrizität: e und - was ist was?
Ich habe es in der Schule z.B. so gelehrt bekommen:

e = lineare Exzentrizität, d.h. der Wert, wie weit die Brennpunkte F₁ und F₂ von M entfernt sind (dimensionsbehaftet, weil eine Länge).

= die numerische Exzentrizität, gebildet durch e/a, bei der Ellipse immer 0 < < 1, ein dimensionsloser Wert, der auch nicht eingezeichnet werden kann.

e = ·a

und nicht: = e·a

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Leider ist es in der Astronomie allerdings durchaus verbreitet, dass man sehr oft - oder praktisch immer - für die numerische Exzentrizität 'e' schreibt, was eigentlich nicht korrekt ist. Es hat wohl stilistische oder drucktechnische Gründe. Vor allem bei den Bahnelementen steht in vielen Büchern und Tabellen ein 'e' für die numerische Exzentrizität, was meiner Ansicht nach nur Verwirrung stiftet, weil e im mathematischen Sinne die lineare Exzentrizität ist, siehe obige Skizze. Manche Lehrbücher oder Formelsammlungen behelfen sich damit, für die lineare Exzentrizität einfach auf "c" auszuweichen (Siehe z.B. Bronstein [15]) und zu schreiben: b²+c²=a² (vergleiche oben: blau-grünes Dreieck mit c=e).

Bei Montenbrucks "Grundlagen der Ephemeridenrechnung" [26] ist z.B. für den Abstand F₂-Mittelpunkt zu lesen: a·e , gemeint ist dabei e=numerische Exzentrizität!

Wie dem auch sei, hier ein Beispiel:

Die Bahnelemente des Planeten Jupiter für den 18. August 2005 lauten (bezügl. Epoche J2000):

a [AE]	e	M [°]	n [°]	i [°]	[°]	[°]
5.201873	0.048956	190.4222	0.0831135	1.3038	100.5097	14.7233	Quelle [26]

n bezeichnet hier die tägliche Bewegung in [°] Grad und ist kein klassisches Bahnelement.

Summa Summarum: Der Leser sei darauf hingewiesen, dass bei derlei Angaben in einschlägiger Literatur also mit e meistens die numerische Exzentrizität gemeint ist. Die Beschreibung der Ellipse auf dieser Seite verwendet die mathematische Sicht der Dinge, also e = lineare Exzentrizität, = numerische Exzentrizität.